تحويل عشري إلى كسر: الطريقة خطوة بخطوة وأداة مجانية

قف أمام أيّ رفّ لِلُقَم الثَّقب في متجر عُدَّة، وستشاهد الدراما الصغيرة نفسها تتكرّر. هاتف أحدهم يقول إنّه يحتاج ثقباً قطره 0.3125 بوصة، واللُّقَم على الجدار مكتوب عليها 5/16. طريقتان لكتابة العدد نفسه تماماً، وعمليّة شراء تتوقّف حتى يمدّ أحدهم الجسر بينهما. عن هذا الجسر تتحدّث هذه الصفحة: كيف تحوّل الأعداد العشرية إلى كسور (والعكس) بسرعة ودقّة، وبفهمٍ كافٍ يجعلك لا تحفظ جدولاً أبداً مرّة أخرى.

في الأعلى ستجد محوّل الأعداد العشرية إلى كسور المجّاني الخاصّ بنا — أداة بنيناها خصّيصاً لهذا الدليل — يتبعه الأسلوب الكامل الذي يقف خلفها: تعليمات خطوة بخطوة للأعداد العشرية المنتهية، والحيلة الجبرية للأعداد العشرية الدورية، والأعداد الكسرية، والنِّسَب المئوية، والقيم السالبة، وجداول تحويل جاهزة للطباعة، وإجابات عن الأسئلة التي يكتبها الناس فعلاً في Google الساعة الحادية عشرة ليلاً قبل امتحان الرياضيات.

◀  انتقل إلى المحوّل المجّاني

كود تضمين محوّل الأعداد العشرية في موقعك:

الأعداد تحكي قصصاً. تساعدنا على فهم العالم، وقياس تقدّمنا، وإعطاء معنى للمعلومات المعقّدة. لكنّ الطريقة التي نكتب بها الأعداد قد تبدو أحياناً كأنّها لغات مختلفة. العدد العشري يتحدّث بطريقة، والكسر يروي قصّة أخرى، والنظام الثنائي يهمس بلغة الحواسيب. لهذا وُجدت هذه الأداة: لتردم تلك الفجوات وتجعل الأعداد في متناول الجميع.

يمكنك نسخ هذا الكود وتضمينه في موقعك، لتمنح زوّارك أداةً قويّةً بسيطةً في آنٍ تُحوِّل طريقة تعاملهم مع الأعداد. سواء كانوا طلّاباً يصارعون واجبات الرياضيات، أو مطوّرين ينقّحون شيفرة، أو مهنيّين يحلّلون بيانات، فإنّ محوّل الأعداد العشرية هذا يجعل الترجمة بين صيغ الأعداد سهلةً بل ممتعة.

محوّل الأعداد العشرية أداةٌ حَدْسِيّةٌ تفاعليّةٌ تتيح لزوّار موقعك التحويل الفوري بين الأعداد العشرية والكسور والنِّسَب المئوية والأعداد الثنائية. ما عليك سوى إدخال قيمة بأيّ صيغة، ومشاهدة بقيّة الصيغ تتحدّث كلّها في الوقت نفسه — فيتحوّل ما قد يكون حساباً مُحبِطاً إلى لحظة وضوح وفهم.

هذه الأداة ضرورية للمواقع التعليمية، ومدوّنات البرمجة، والمنصّات المالية، والمراجع العلمية، أو أيّ موقع تلعب فيه الأعداد دور البطولة. إنّها أكثر من مجرّد محوّل: إنّها جسرٌ بين العوالم، يساعد الناس على رؤية الروابط بين الطرق المختلفة لتمثيل القيمة.

الكود متوفّر بستّ لغات عالمية للترحيب بالزوّار من كلّ ركن من أركان الكوكب: الإنجليزية - الإسبانية - الفرنسية - العربية - الصينية - الهندية.

يمكنك تغيير لغة المحوّل بسهولة عبر تعديل المُعامِل في الرابط: ?lang=ar

اللغات المتاحة: en - es - fr - ar - zh - hi

1- كود iFrame المعزول (مثالي للمقالات والصفحات):

إذا كنت تكتب شرحاً في الرياضيات أو البرمجة أو تحليل البيانات، فهذه الطريقة تتيح لك تضمين الأداة مباشرةً داخل محتواك. الـ iframe المعزول يضمن تجربةً نظيفةً خاليةً من التشتيت، ليتمكّن قرّاؤك من تجربة تحويلات الأعداد جنباً إلى جنب مع شروحك — فتتحوّل المفاهيم المجرّدة إلى فهمٍ ملموس.

<iframe id="tq_decimal_converter" src="https://tools.tooliqo.co/decimal-converter/?lang=ar" title="Tooliqo" loading="lazy" scrolling="no" style="width:100%;max-width:100%;height:560px;border:0;overflow:hidden;display:block;margin:0 auto;"></iframe>
<script>(function(){var i="tq_decimal_converter",b="https://tools.tooliqo.co/decimal-converter/",dl="ar";function L(){try{var h=(document.documentElement.getAttribute("lang")||"").toLowerCase();var ok=["ar","en","fr","es","zh","hi"];for(var k=0;k<ok.length;k++){if(h.indexOf(ok[k])===0)return ok[k];}}catch(e){}return dl;}function R(){var f=document.getElementById(i);if(!f)return;var lg=L();if(lg){var want=b+"?lang="+lg;if((f.getAttribute("src")||"").indexOf("lang="+lg)===-1)f.setAttribute("src",want);}window.addEventListener("message",function(e){var d=e.data;if(!d||typeof d.tqHeight!=="number"||d.tqHeight<50)return;try{if(f.contentWindow&&e.source&&e.source!==f.contentWindow)return;}catch(x){}f.style.height=(d.tqHeight+20)+"px";},false);}if(document.readyState==="loading"){document.addEventListener("DOMContentLoaded",R);}else{R();}})();</script>

2- السكربت المرن (مناسب للأشرطة الجانبية والقوالب):

هذه الطريقة مثالية للأشرطة الجانبية أو التذييلات أو مناطق الودجات حيث تريد أن تبقى الأداة في المتناول دائماً. يُحمَّل المحوّل بسلاسة وأناقة، ليصبح مورداً موثوقاً يساعد زوّارك على التنقّل في عالم الأعداد الساحر — سواء للتحقّق من عملهم، أو لتعلّم شيء جديد، أو لمجرّد إشباع فضولهم حول علاقة الأنظمة العددية المختلفة ببعضها.

فقط أضِف هذه الأسطر إلى كود موقعك، وسيظهر محوّل الأعداد العشرية فوراً، جاهزاً للمساعدة. وهو متجاوبٌ بالكامل بحكم تصميمه، ما يضمن تجربةً جميلةً على الحواسيب المكتبية والأجهزة اللوحية والهواتف الذكية.

 <div class="tooliqo-tool" data-tool="decimal-converter" data-lang="ar"></div>
<script src="https://tools.tooliqo.co/embed.js" async></script>

ملاحظة: يعمل محوّل الأعداد العشرية في الزمن الحقيقي، ويقدّم تحويلات فوريّة أثناء كتابة زوّارك أو ضبطهم للقيم. لا حاجة لإعادة تحميل الصفحة — فقط تجربة سلسة حَدْسِيّة تُحوِّل حَيْرة الأعداد إلى ثقةٍ بالأعداد. فحين نفهم الأعداد على نحوٍ أفضل، نفهم عالمنا بوضوحٍ أكبر قليلاً.

الأعداد العشرية والكسور: اسمان لعدد واحد

إليك النقلة الذهنية التي تجعل كلّ ما تبقّى سهلاً: العدد العشري والكسر ليسا نوعين مختلفين من الأعداد. إنّهما تدوينان مختلفان للنقطة نفسها على خطّ الأعداد. 0.75 و34 هما القيمة نفسها بثوبين مختلفين — مثلما «السابعة والنصف» و«7:30» هما الوقت نفسه.

يجيب الكسر عن سؤال: «كم جزءاً ومن أيّ حجم؟». العدد السفلي (المقام) يخبرك في كم قطعة متساوية قُسِّم الكلّ؛ والعدد العلوي (البسط) يخبرك كم قطعة منها لديك. ثلاثة أرباع: قسِّم إلى 4، وخذ 3.

يجيب العدد العشري عن السؤال نفسه، لكنّه يُصِرّ على أن تأتي القطع بأحجام من العشرة: أعشار، أجزاء من مئة، أجزاء من ألف، وهكذا. كلّ رقم بعد الفاصلة هو عَدٌّ لأحد تلك الأحجام. في 0.375، يعني الـ 3 ثلاثة أعشار، ويعني الـ 7 سبعة أجزاء من مئة، ويعني الـ 5 خمسة أجزاء من ألف. اجمعها — 300/1000 + 70/1000 + 5/1000 — تحصل على 375/1000، التي تُبسَّط إلى 3/8. فالأعداد العشرية ما هي إلّا كسورٌ لها رأيٌ صارمٌ في المقامات.

هذا «الرأي الصارم» هو أيضاً سبب تعثّر الأعداد العشرية أحياناً. عاملا العشرة الأوّليّان هما 2 و5، لذا فإنّ أيّ كسرٍ يتكوّن مقامه من 2 و5 فقط يتحوّل إلى عددٍ عشريٍّ منتهٍ نظيف. لكنّ مقاماً فيه أيّ عاملٍ أوّليٍّ آخر — 3 أو 7 أو 11 — لا يمكن أبداً التعبير عنه بدقّة بالأعشار والأجزاء من مئة. بدلاً من ذلك، تبدأ الأرقام بالتكرار إلى الأبد: 1/3 = 0.333...، وتُكتَب باختصار 0.(3). كلّ عددٍ عشريٍّ منتهٍ أو دوريٍّ هو عددٌ نِسبيّ (كسري)، ما يعني أنّ له صورةً كسريّةً مضبوطة — وإيجادها عمليّةٌ آليّةٌ ستتعلّمها في القسمين التاليين.

دقيقة واحدة من تاريخ الفاصلة العشرية

الكسور قديمة — كان كتبة مصر القدماء يؤلّفونها من كسورٍ آحاديّة قبل أربعة آلاف عام — لكنّ الكسر العشري حديثٌ على نحوٍ مفاجئ. وأقدم معالجةٍ منهجيّةٍ نعرفها تأتي من أبي الحسن الأُقْلِيدِسي، عالمٍ عمل في دمشق نحو عام 952م، ويُظهِر كتابه في الحساب تنصيف الأعداد إلى ما بعد خانة الآحاد، وتعليم موضع انتهاء الجزء الصحيح. وبعد خمسة قرون، دفع غياث الدين جمشيد الكاشي في سمرقند الفكرة إلى دقّةٍ مذهلة، إذ حسب ثابت الدائرة إلى ستّ عشرة منزلةً عشريّةً من أجل الجداول الفلكية — فكانت الكسور العشرية أداةً علميّةً جادّة، لا مجرّد طُرفة. وهذا إرثٌ عربيٌّ إسلاميٌّ نفخر به: فالفاصلة العشرية التي يستخدمها العالم اليوم تدين بجذورها لعلماء حضارتنا.

أمّا أوروبا فقد لحقت متأخّرة. كُتيّب De Thiende («العُشْر»)، الذي نشره المهندس الفلمنكي سيمون ستيفين عام 1585م، دافع عن أنّ الكسور العشرية ستُبسِّط التجارة والمساحة والعُملة — بل تنبّأ بالعُملة العشرية — رغم أنّ تدوينه (دلائل صغيرة داخل دوائر بعد كلّ رقم) كان ثقيلاً. الفاصل النظيف الذي نستخدمه اليوم انتشر في أوائل القرن السابع عشر، ثمّ انقسم فوراً إلى قسمين: استقرّ العالم الناطق بالإنجليزية على النقطة (3.14) بينما استقرّ كثيرٌ من أوروبا وأمريكا اللاتينية وغيرها على الفاصلة (3,14). وكلاهما صحيح؛ إنّهما لهجتان إقليميّتان لفكرةٍ واحدة.

من العدد العشري إلى الكسر، خطوة بخطوة

لأيّ عددٍ عشريٍّ ينتهي — أي عدد عشري منتهٍ — يتمّ التحويل في حركتين. هذا هو الإجراء الدقيق الذي يؤدّيه المحوّل أعلاه (ويسرده) حين تكتب شيئاً مثل 0.32 أو 4.05.

1. عُدَّ المنازل العشرية واكتب الأرقام فوق 1 يتبعه هذا العدد من الأصفار. منزلتان تعني أجزاءً من مئة؛ وثلاثٌ تعني أجزاءً من ألف. 0.32 → 32/100.
2. اختصر إلى أبسط صورة. جِد القاسم المشترك الأكبر (GCD) للبسط والمقام، واقسمهما عليه. القاسم المشترك الأكبر لـ 32 و100 هو 4، فيكون 32/100 = 8/25.

هذا كلّ شيء فعلاً. لنُجرِ ذلك على بضعة أعدادٍ يبحث عنها الناس باستمرار:

ما هو 0.625 ككسر؟

ثلاث منازل عشرية، إذن 0.625 = 625/1000. القاسم المشترك الأكبر لـ 625 و1000 هو 125. اقسمهما: 625/1000 = 5/8. وإن لم تلمح قاسماً كبيراً فوراً، فاختصر على مراحل — نصِّف، ثمّ نصِّف مرّةً أخرى، ثمّ اقسم على 5 — ستصل إلى النتيجة نفسها.

ما هو 0.375 ككسر؟

0.375 = 375/1000. القاسم المشترك الأكبر 125، فتحصل على 3/8. لاحظ النمط مع المثال السابق: الأثمان تنتج أعداداً عشريّةً تنتهي بـ .125 و.375 و.625 و.875. وحالما تراه، لن تنساه — وهو نصف قراءة شريط القياس بالبوصة.

ما هو 4.05 ككسر؟

الأعداد الصحيحة تُرافِق مجّاناً. 4.05 = 405/100، القاسم المشترك 5، فيكون 81/20 — أو، مع إبقاء الجزء الصحيح منفصلاً، العدد الكسري 4 1/20. وكلاهما صحيح؛ وأيّهما تريد يعتمد على ما ستفعله بعده (مزيدٌ عن هذا أدناه).

لماذا تنجح الحيلة

ضرب عددٍ عشريٍّ في 10 يُزحلق الفاصلة منزلةً واحدةً إلى اليمين. فضرب 0.32 في 100 يعطي العدد الصحيح 32 — ما يعني أنّ 0.32 لا بدّ أن يساوي 32 مقسوماً على 100. أنت لا تفعل شيئاً غامضاً؛ أنت فقط تعكس نظام القيمة المنزلية. القرار الوحيد الذي يحتاج تقديراً هو خطوة الاختصار، وحتى هذه آليّةٌ بحتة: خوارزمية إقليدس (استبدل مراراً العدد الأكبر بباقي قسمته على الأصغر) تجد القاسم المشترك الأكبر لأيّ عددين، دون حاجةٍ لأيّ بصيرةٍ في التحليل. إنّها الخوارزمية نفسها التي تعمل داخل المحوّل — على أعدادٍ صحيحةٍ بلا حدٍّ للحجم، وهو ما يهمّ أكثر ممّا تظنّ حالما تدخل الأعداد الدورية المشهد.

من العدد الدوري إلى الكسر: الطريقة الجبرية

تُخيف الأعدادُ الدورية الناسَ، وبصراحةٍ فإنّ الخوف في غير محلّه — فالطريقة قطعةٌ جبريّةٌ مُرضِيةٌ حقّاً، طولها ثلاثة أسطر، وحالما تستقرّ في ذهنك يمكنك تحويل أيّ عددٍ دوريٍّ دون جدول. وهي أيضاً الروتين الدقيق الذي يطبعه محوّلنا في لوحة «عرض الخطوات»، فتتمكّن من التحقّق من واجبك سطراً بسطر.

الفكرة: سمِّ العدد الغامض س، ثمّ اضربه في قوى العشرة حتى تصبح لنسختين منه ذيلان لا نهائيّان متطابقان. اطرح النسختين، فيُفني الذيلان اللانهائيّان أحدهما الآخر، تاركين معادلةً عاديّةً بأعدادٍ صحيحة.

المثال 1: دوريٌّ صِرف — ما هو 0.(45) ككسر؟

1. لتكن س = 0.454545...
2. طول الكتلة المتكرّرة رقمان، فاضرب في 100: 100س = 45.454545...
3. اطرح السطر الأوّل من الثاني. يتلاشى الذيلان: 99س = 45، فيكون س = 45/99. اختصر بالقاسم المشترك (9): س = 5/11.

المثال 2: الكلاسيكي — ما هو 0.(3) ككسر؟

رقمٌ دوريٌّ واحد، فاضرب في 10: 10س = 3.333... اطرح س = 0.333... لتحصل على 9س = 3، ومنه س = 1/3. ثلاثون ثانية، بلا حفظ.

المثال 3: بادئةٌ غير دورية — ما هو 1.2(7) ككسر؟

هذه هي الحالة التي تُعثِر الناس: 1.2777... فيه رقمٌ واحد (الـ 2) قبل بدء التكرار. والحلّ هو استخدام ضربين — أحدهما لتزحلق الفاصلة إلى ما بعد الجزء غير الدوري، والآخر لتزحلقها كتلةً دوريّةً كاملةً أبعد:

1. س = 1.2777...
2. اضرب في 10 (تجاوز البادئة): 10س = 12.777...
3. اضرب في 100 (كتلة أبعد): 100س = 127.777...
4. اطرح السطر 2 من السطر 3: 90س = 115، فيكون س = 115/90 = 23/18 — أي العدد الكسري 1 5/18.

الأمثلة الثلاثة نمطٌ واحد، ويُختزَل في صيغةٍ تستحقّ أن تُعلَّق فوق المكتب:

جرّبها على 1.2(7): كلّ الأرقام تُكوّن 127، والأرقام غير الدورية تُكوّن 12، والفرق 115. رقمٌ دوريٌّ واحد يعني تسعةً واحدة؛ ورقمٌ عشريٌّ غير دوريٍّ واحد يعني صفراً واحداً — فالمقام 90. تحصل على 115/90 = 23/18 فوراً، النتيجة نفسها التي حصلت عليها بالطريقة الطويلة. ولـ 0.(81): 81 على 99 = 9/11. ولـ 0.2(3): (23 − 2)/90 = 21/90 = 7/30.

من الكسر إلى العدد العشري: اقسم، واعرف ما القادم

الانتقال من الكسر إلى العدد العشري عمليّةٌ واحدة — اقسم البسط على المقام — لكن هناك مهارةٌ حقيقيّةٌ في توقّع شكل الإجابة قبل أن تقسم.

اختبار الانتهاء: انظر إلى المقام

اختصر الكسر بالكامل أوّلاً. ثمّ حلِّل المقام إلى عوامله. إن كان يحتوي على 2 و5 فقط، فالعدد العشري ينتهي — مضمون. وأيّ عاملٍ أوّليٍّ آخر بداخله يجعل العدد يتكرّر إلى الأبد.

• 7/8: المقام 8 = 2×2×2 → ينتهي: 0.875
• 3/20: 20 = 2×2×5 → ينتهي: 0.15
• 5/12: 12 = 2×2×3 → ذلك الـ 3 يفرض التكرار: 0.41(6)
• 5/7: 7 أوّليٌّ وليس 2 ولا 5 → يتكرّر بكتلةٍ طويلة: 0.(714285)

لماذا يجب أن تدور الأرقام في النهاية

القسمة الطويلة على b لا يمكن أن تنتج إلّا بواقيَ بين 0 وb−1. فإمّا أن تصل إلى الباقي 0 (فيتوقّف العدد العشري)، أو — خلال b−1 خطوةً على الأكثر — يعود باقٍ رأيته من قبل، ومن تلك اللحظة تُعيد الأرقام نفسها في حلقة. لهذا فإنّ 1/7 له كتلةٌ دوريّةٌ طولها ستّة أرقامٍ بالضبط (142857، العدد الدوّار الشهير)، ولهذا لا يمكن لأيّ كسرٍ مقامه 7 أن يتكرّر بدورةٍ أطول. يكتشف المحوّل في هذه الصفحة الدورة بالطريقة الأمينة: يُجري القسمة الطويلة بحسابٍ صحيحٍ مضبوط، ويراقب أوّل باقٍ متكرّر، ويُعلِّم الكتلة — ثمّ يذكر طول الكتلة الدورية أسفل النتيجة مباشرة.

مثالٌ محلول: 7/8 إلى عددٍ عشري

7 ÷ 8: يدخل الـ 8 في الـ 70 ثماني مرّات (64)، الباقي 6؛ وفي الـ 60 سبع مرّات (56)، الباقي 4؛ وفي الـ 40 خمس مرّاتٍ بالضبط. الباقي 0 — انتهى: 0.875. وكما توقّع اختبار المقام، انتهى.

الأعداد الكسرية والكسور غير الحقيقية

العدد الكسري (مثل 2 3/4) والكسر غير الحقيقي (مثل 11/4) هما، مرّةً أخرى، القيمة نفسها بزيٍّ مختلف. تُقرأ الأعداد الكسرية بطبيعيّة — لا أحد يطلب «أحد عشر رُبعاً من كوب الدقيق» — بينما الكسور غير الحقيقية أسهل بكثيرٍ في الحساب. وللتحويل بينهما:

من الكسري إلى غير الحقيقي: 2 3/5 = (2×5 + 3)/5 = 13/5. من غير الحقيقي إلى الكسري: لـ 11/4، يدخل الـ 4 في الـ 11 مرّتين والباقي 3، فيكون 2 3/4. وإلى العدد العشري، أيّ طريقٍ يفي: 11 ÷ 4 = 2.75، أو حوِّل الجزء الكسري وحده (3/4 = 0.75) وأضِف الـ 2 الصحيح.

اصطلاحٌ ينبغي إبقاؤه واضحاً: 2 3/5 تعني 2 زائد 3/5، وليس 2 ضرب 3/5 أبداً. المسافة تؤدّي عمل علامة الجمع. (يفسّرها المحوّل هكذا أيضاً — اكتب 2 3/5 مع المسافة فيقرؤها عدداً كسريّاً.)

النِّسَب المئوية: الصورة الثالثة للعدد نفسه

النسبة المئوية ما هي إلّا كسرٌ التزم بالمقام 100 — per centum، «في كلّ مئة». ما يعني أنّ كلّ عددٍ عشريٍّ وكسرٍ ونسبةٍ مئويّةٍ قابلٌ للتحويل المتبادل بقاعدتين صغيرتين:

المزالق كلّها في الاتجاه. عند الانتقال إلى النسبة المئوية يكبر العدد (تنزلق الفاصلة منزلتين إلى اليمين)؛ وعند الانتقال من النسبة المئوية يصغر. 0.375 = 37.5%، لا 3.75%. والأعداد الدورية تبقى دوريّةً كنِسَبٍ مئوية: 1/3 = 0.(3) = 33.(3)% — الطريقة الأمينة لكتابة ما يُقرِّبه الناس عادةً إلى 33.33%.

الأعداد العشرية والكسور السالبة

لا حاجة لأيّ جديد: نحِّ الإشارة جانباً، وحوِّل القيمة الموجبة، ثمّ أعِد الإشارة إلى النتيجة. فـ −0.625 يمرّ عبر 625/1000 إلى −5/8، و−2.25 يصبح −9/4، أو العدد الكسري −2 1/4 — حيث تنطبق الإشارة، اصطلاحاً، على الكلّ (سالب اثنين ورُبع)، لا على الـ 2 وحده. يتّبع المحوّل الاصطلاح نفسه، ويقبل إشارة سالبٍ أمام أيّ صيغة إدخال.

جداول التحويل والقيم السريعة

فهم الطريقة يتفوّق على حفظ الجداول — لكنّ بعض المكافئات تتكرّر كثيراً حتى إنّ توفّرها في متناولك يوفّر وقتاً حقيقيّاً. كلّ قيمةٍ أدناه حُسِبَت بحسابٍ مضبوط (المحرّك نفسه الذي في المحوّل)، فيمكنك معاملة هذه الجداول كمرجعٍ موثوق.

جدول العشري-الكسر-النسبة اليومي

عائلتان تستحقّان الحفظ عن ظهر قلبٍ مباشرة. الأثمان (.125 و.375 و.625 و.875) تفتح كلّ شريط قياسٍ بالبوصة وكلّ فهرس لُقَم ثقب. والأتساع حيلةٌ ظريفة: n/9 = 0.(n)، فـ 2/9 هو 0.(2)، و7/9 هو 0.(7)، وهكذا؛ والمنطق نفسه يعطي n/99 = 0.(0n) لكتل الرقمين، وهو بالضبط سبب انهيار 45/99 إلى 0.(45) في قسم الجبر.

قيمٌ سريعة من المحوّل

هذه هي الأزرار الجاهزة المدمجة في الأداة أعلاه — الأعداد التي اخترناها لأنّها، معاً، تُمرِّن كلّ مسار تحويلٍ يغطّيه هذا المقال. اضغط أيّ زرٍّ في المحوّل وسترى الصفّ المقابل يدبّ فيه الحياة، مع الخطوات:

داخل المحوّل: ما الذي يجعل هذا مختلفاً

هناك حاسبات عشري-كسر كثيرة على الإنترنت، فمن الإنصاف أن تسأل لماذا بنينا واحدةً أخرى. الجواب المختصر: معظمها يُقرِّب. أمّا حاسبتنا فلا — وحول هذا القرار الواحد نما مجموعةٌ من المزايا لم نرَها مجتمعةً في أيّ مكانٍ آخر. إليك الجولة الأمينة.

حسابٌ مضبوط، لا فاصلةٌ عائمة

افتح وحدة تحكّم متصفّحك الآن واكتب 0.1 + 0.2. ستحصل على 0.30000000000000004. هذا ليس خللاً في متصفّحك؛ إنّها طبيعة أعداد الفاصلة العائمة الثنائية التي تحسب بها معظم البرمجيات — فهي لا تستطيع تمثيل أغلب القيم العشرية بدقّة، فتتسلّل أخطاءٌ متناهية الصِّغَر إلى كلّ شيء. والمحوّل المبنيّ على الفاصلة العائمة سيخبرك همساً أنّ كسراً فوضويّاً «يساوي» عددك العشري بينما هو في الحقيقة قريبٌ منه فقط.

تتفادى هذه الأداة المشكلة برمّتها: كلّ تحويلٍ يعمل بـحسابٍ صحيحٍ لا نهائيّ الدقّة (BigInt)، ممثِّلاً عددك كنسبةٍ مضبوطةٍ بين عددين صحيحين منذ أوّل نقرة. حين تقول 0.(45) = 5/11، فتلك هويّةٌ لا تقريب. وحين تُعرَض نتائج مُقرَّبة — السطر الصغير ≈ 0.4545454545... تحت نتيجةٍ دورية — تُعلِّمها الأداة برمز التقريب، حتى لا يختلط المضبوط بالمقرَّب أبداً.

مُدخَلٌ ذكيٌّ واحد، خمس صيغ

لا قائمةَ منسدلةً تسألك أيّ نوعٍ من الأعداد أنت على وشك كتابته. المُحلِّل يتعرّف على الصيغة بنفسه: عددٌ عشريٌّ بسيط (0.375)، أو كسر (7/8)، أو عددٌ كسريٌّ بمسافة (2 3/5)، أو عددٌ دوريٌّ بتدوين الأقواس (1.2(7))، أو نسبةٌ مئوية (15%) — كلٌّ منها سالبٌ اختيارياً. مهما أعطيته، تستعيد الصيغ الأربع دفعةً واحدة: عشري، وكسرٌ مختصر، وعددٌ كسريٌّ (عند انطباقه)، ونسبةٌ مئوية، ولكلٍّ زرّ نسخٍ خاصّ.

يُحوِّل أثناء كتابتك

تتحدّث النتائج مباشرةً، بعد لحظةٍ من توقّفك عن الكتابة — بلا بحثٍ عن أزرار. وهو مهذّبٌ في ذلك: مُدخَلٌ نصف مكتملٍ مثل 0. أو 3/ لا يُطلِق ومضة خطأٍ في منتصف الفكرة. اضغط Enter (أو زرّ التحويل) لتثبيت قيمة، وEscape للمسح، وزهر النرد الصغير لمثالٍ محلولٍ عشوائيٍّ حين تستكشف.

يُظهِر عمله: جبرٌ حقيقيّ، لا ملخّص

كلّ تحويلٍ يأتي مع لوحةٍ مرقّمةٍ «عرض الخطوات» تعكس هذا المقال. للأعداد المنتهية سترى تجهيز قوّة العشرة والقاسم المشترك الأكبر الدقيق المستخدَم في الاختصار. وللأعداد الدورية تحصل على الجبر الأصيل — س = 0.(45)، 100س = 45.(45)، اطرح، حُلّ — الأسطر الثلاثة نفسها التي يكتبها المعلّم على السبّورة. إن كنت طالباً، فهو حلٌّ لأيّ عددٍ تخترعه؛ وإن كنت أباً أو أمّاً يساعد في الواجب، فهو تذكيرٌ للذاكرة عند الطلب.

صورةٌ للكسر

بجانب كلّ نتيجةٍ كسريّةٍ حلقةٌ صغيرة، ممتلئةٌ بمقدار الجزء الكسري بالضبط. يبدو الأمر ثانويّاً؛ لكنّه ليس كذلك. رؤية 5/11 مرسوماً كـ«أقلّ بقليلٍ من نصف دائرة» هي أسرع فحص سلامةٍ ممكن — فإن كنت تتوقّع نحو ثلاثة أرباعٍ والحلقة تخالفك، فقد أمسكت الخطأ قبل أن يكلّفك شيئاً.

أعدادٌ دوريّةٌ دخولاً وخروجاً

معظم الحاسبات تطبع 0.4166666667 وتكتفي بذلك. أمّا هذه فتُجري القسمة الطويلة بدقّة، وتكتشف الدورة، وتكتب 0.41(6) — القيمة الحقيقية — مع طول الكتلة الدورية. وتقبل ذلك التدوين مُدخَلاً أيضاً، فنتيجةٌ نسختها أمس يمكن لصقها اليوم نقطة انطلاقٍ دون خسارة رقمٍ واحدٍ من الدقّة.

وسائل راحةٍ صغيرة تتراكم

السجلّ الأخير: تحويلاتك الستّة الأخيرة تنتظر كأزرارٍ بنقرةٍ واحدة (مخزّنةٌ في متصفّحك وحده). نسخ الكلّ: نقرةٌ واحدة تلتقط كلّ صورةٍ في أسطرٍ مُعنوَنةٍ مرتّبة، جاهزةٍ للملاحظات أو رسالة. المشاركة: تُنشئ رابطاً بعددك مضمّناً فيه؛ افتحه فيُحمَّل المحوّل مملوءاً مسبقاً ومحلولاً — وهو أمرٌ رائعٌ بهدوءٍ للمدرّسين الخصوصيّين الذين يرسلون تمارين. ستّ لغات (العربية بتخطيطٍ كامل من اليمين إلى اليسار، والإنجليزية، والفرنسية، والإسبانية، والصينية، والهندية) مع كشفٍ تلقائي. وضعٌ داكن يتبع نظامك. وكلّ ذلك يعمل بالكامل في متصفّحك: لا شيء ممّا تكتبه يُرسَل إلى أيّ خادم، ما يعني أيضاً أنّه يظلّ يعمل مع اتّصالٍ متقطّعٍ بعد تحميل الصفحة.

أين ستستخدم هذا فعلاً

في المطبخ

في مطابخنا العربية نقيس غالباً بالغرامات والملّيلترات، لكن ما إن تتبع وصفةً أمريكيّةً مترجمة حتى تظهر الأكواب، ومعها الكسور. تنصيف وصفةٍ تطلب 3/4 كوبٍ يعني حساب 0.75 ÷ 2 = 0.375 — ثمّ التحويل عكسياً، لأنّ أكواب القياس لديك تقول 3/8، لا «0.375». وضاعِفها بـ 1.5 بدلاً من ذلك فيصبح 2/3 كوبٍ 0.(6) × 1.5 = 1 كوباً كاملاً بالضبط — حالةٌ يهبط فيها العدد الدوري، إذا عُولِج بدقّة، على إجابةٍ نظيفةٍ تماماً كان 0.67 المقرَّب سيخطئها.

في الورشة

القياس الإمبراطوري بلاد الكسور: أشرطة قياسٍ مُعلَّمةٌ بـ 1/16، ولُقَمٌ بـ 1/64، وخشبٌ بالأرباع. ورغم أنّنا نعمل في العالم العربي بالنظام المتري، فما إن تشتري عُدّةً مستوردةً من الولايات المتّحدة أو مسماراً بمواصفات البوصة حتى يلزمك التحويل. ثقب الـ 0.3125 بوصة من أعلى هذه الصفحة هو لُقمة الـ 5/16؛ وقراءة قدمة القياس (الوَرْنية) 0.4375 هي مفتاح ربطٍ 7/16. قاعدة جيبٍ تستحقّ التذكّر: جزءٌ واحدٌ من أربعةٍ وستّين من البوصة يساوي 0.015625، فضرب أيّ قراءة قدمةٍ في 64 والتقريب يعطيك أقرب مقاس لُقمةٍ كسريّةٍ في خطوةٍ واحدة.

مع المال والنِّسَب المئوية

أسعار الفائدة والخصومات والبقشيش نِسَبٌ مئويّةٌ على البطاقة لكنّها أعدادٌ عشريّةٌ في الحساب. خصمُ 15% هو ضربٌ في 0.15؛ و«النصف تخفيضاً، ثمّ ثلثٌ إضافيٌّ على سعر التخفيض» هو 1/2 × 2/3 = 1/3 من الأصل — حساب كسورٍ في ثانيتين يحوّله التفكير العشري-فقط إلى فوضى تقريب. والمال أيضاً حيث تكفّ الدقّة عن كونها تنطّعاً: كسورٌ من القرش، إذا تراكمت، تصبح مالاً حقيقياً.

في المدرسة (على جانبَي المقعد)

الطلاقة في العشري-الكسر جدارٌ حاملٌ في منهج المرحلة المتوسّطة: إنّه حيث تلتقي القيمة المنزلية والقسمة والنِّسَب والنسبة المئوية. يستخدم الطلّاب أداةً كهذه لـالتحقّق من العمل، لا لتخطّيه: أجرِ التحويل يدوياً، ثمّ قارنه بلوحة الخطوات سطراً بسطر. ويستخدم المعلّمون روابط المشاركة لتوزيع مسائل تصل مملوءةً مسبقاً، وزرّ النرد لتوليد أمثلة نقاشٍ في اللحظة.

في البيانات والشيفرة والموسيقى

يلتقي المبرمجون بهذا بالطريق الصعب، عبر 0.1 + 0.2. ويلتقي به المحلّلون حين يُظهِر جدول البيانات 0.6667 ويحتاج التقرير «2/3 من المستجيبين». أمّا الموسيقيّون فيعيشون فيه دائماً: النوتة السوداء المنقّطة هي 3/8 من النوتة المستديرة، والموازين الزمنية كسورٌ حرفياً. وحالما ترى النمط، ستجده في كلّ مكان — وهذا بالضبط سبب استحقاق التحويل أن يكون آليّاً في رأسك وفوريّاً في متصفّحك.

تمرين: عشرة تحويلات، الحلول مخفيّةٌ حتى تكون مستعدّاً

القراءة عن مهارةٍ وامتلاكها شيئان مختلفان، فإليك مجموعةً متدرّجة — من أعدادٍ عشريّةٍ منتهيةٍ سهلة إلى دوريٍّ من جزأين. حُلَّها على الورق (أو ذهنياً)، ثمّ اضغط كلّ إجابةٍ للتحقّق. وإن أخطأت في واحدة، فاكتبها في المحوّل واقرأ لوحة الخطوات: ستُريك بالضبط أيّ حركةٍ اختلفت عن حركتك.

1. حوِّل 0.85 إلى كسر.
   الإجابة

   17/20 — 85/100 مختصراً بـ 5. وكنسبةٍ مئوية: 85%.
2. حوِّل 0.048 إلى كسر.
   الإجابة

   6/125 — 48/1000، القاسم المشترك 8. الأجزاء من ألفٍ في النهاية هي حيث يخطئ الناس في عدّ الأصفار؛ ثلاث منازل عشرية تعني ثلاثة أصفار.
3. حوِّل 3.125 إلى كسرٍ غير حقيقيٍّ وعددٍ كسري.
   الإجابة

   25/8، أي 3 1/8. (3125/1000، القاسم المشترك 125.)
4. حوِّل 0.(7) إلى كسر.
   الإجابة

   7/9 — نمط الأتساع، فوراً.
5. حوِّل 0.5(4) إلى كسر.
   الإجابة

   49/90 — (54 − 5) على تسعةٍ واحدةٍ وصفرٍ واحد.
6. حوِّل 2.1(36) إلى كسر.
   الإجابة

   47/22 — (2136 − 21)/990 = 2115/990، مختصراً بـ 45. الكسري: 2 3/22. هذا أصعب نوعٍ ستقابله؛ فإن حللته، فقد أتممت تعلّم هذا الموضوع.
7. حوِّل 9/16 إلى عددٍ عشري.
   الإجابة

   0.5625 — المقام أثنانٌ خالصة، فكان لا بدّ أن ينتهي.
8. حوِّل 7/11 إلى عددٍ عشري.
   الإجابة

   0.(63) — أجزاء الأحد عشر تتكرّر بكتل رقمين: مضاعفات 9 (09، 18، 27، ... 63 لـ 7/11).
9. حوِّل 4 2/3 إلى عددٍ عشريٍّ ونسبةٍ مئوية.
   الإجابة

   4.(6) و466.(6)% — عبر 14/3.
10. حوِّل −0.375 إلى كسر.
    الإجابة

    −3/8 — حوِّل القيمة الموجبة، ثمّ أعِد الإشارة.

ركن جداول البيانات: الكسور في Excel وGoogle Sheets

بما أنّ كثيراً من عمل العشري-إلى-كسر ينتهي في جدول بياناتٍ على أيّ حال، إليك صيغتين تستحقّان المعرفة:

في Excel أو Google Sheets، تعرض =TEXT(A1,"?/?") قيمة A1 ككسرٍ برقمٍ واحد، و=TEXT(A1,"# ??/??") كعددٍ كسريٍّ حتى رقمين — فتظهر 0.375 كـ 3/8 و2.75 كـ 2 3/4. ويمكنك الحصول على الأثر نفسه دون صِيَغٍ عبر تنسيق ← رقم ← كسر. (ملاحظة: قد يختلف فاصل وسائط الدالّة وأسماؤها حسب لغة الواجهة.)

المشكلة — وهي حقيقيّة — أنّ جداول البيانات تُقرِّب إلى أقرب كسرٍ قابلٍ للتمثيل ضمن ميزانية الأرقام التي سمحت بها. اطلب "?/?" على 0.454545... فلن تحصل على 5/11 إلّا إن حالفك الحظّ في ضبط الأرقام؛ واطلب أجزاء من ستّة عشر على قيمةٍ ليست كذلك فسيطبع بمرحٍ أقرب جزءٍ من ستّة عشر كأنّه مضبوط. والأعداد الدورية مُتلَفةٌ أصلاً عند الإدخال، لأنّ الخليّة خزّنت عدداً ثنائيّاً مُقرَّباً قبل أن يراه تنسيقك أصلاً. إذن: جداول البيانات جيّدةٌ لـعرض كسورٍ لطيفةٍ لقيمٍ نظيفة، لكن لتحديد ما يساويه العدد بالضبط — خاصّةً أيّ شيءٍ دوري — أجرِ التحويل أوّلاً بحسابٍ مضبوط (يدوياً بالطرق أعلاه، أو بالمحوّل)، ثمّ انقل الكسر الحقيقي إلى الورقة.

أخطاء شائعة (وكيف تتفاداها)

القسمة بالاتجاه الخاطئ. شَرْطة الكسر تعني «الأعلى مقسوماً على الأسفل». 3/4 هو 3 ÷ 4 = 0.75، لا 4 ÷ 3 أبداً. فإن خرج «تحويلك» لكسرٍ حقيقيٍّ أكبر من 1، فقد قلبته.

التوقّف قبل أبسط صورة. 32/100 كسرٌ صحيحٌ لـ 0.32، وهو أيضاً كسرٌ غير مكتمل. يخصم المعلّمون درجاتٍ عليه، وهم محقّون — فـ 8/25 هي القيمة نفسها بعد عصر كلّ العوامل المشتركة. عند الشكّ، طبّق خوارزمية إقليدس؛ وعند شكٍّ أكبر، تُظهِر خطوات المحوّل القاسم المشترك الأكبر الدقيق الذي قسم عليه.

تقريب عددٍ دوريٍّ مبكّراً جداً. كتابة 1/3 كـ 0.33 تُدخِل خطأً بنسبة 1% قبل أن تبدأ أصلاً؛ اضرب في 300 فتنحرف وحدةً كاملة. أبقِ القيم كسوراً (أو بتدوين 0.(3)) خلال منتصف الحساب، وقرِّب في النهاية فقط.

الزلّة المزدوجة للنسبة المئوية. تحويل 0.375 إلى «3.75%» (والصواب 37.5%) أو 15% إلى «1.5» (والصواب 0.15) — كلاهما الخطأ نفسه: تحريك الفاصلة بالاتجاه الخاطئ، أو منزلةً واحدةً فقط. ثبِّت نفسك بقيمةٍ تعرفها تماماً: النصف هو 50%.

سوء قراءة إشارة العدد الكسري. −2 1/4 تعني −(2 + 1/4) = −2.25. لا تعني −2 + 0.25. حوِّل القيمة الموجبة، ثمّ طبّق الإشارة على النتيجة كاملة.

الوثوق بأنّ إجابة الفاصلة العائمة مضبوطة. إن أخبرتك حاسبةٌ أنّ 0.416666666667 «يساوي» 5/12، فهي تُقرِّب مرّتين — مرّةً في القسمة، ومرّةً في العرض. للتحقّق من الواجب أو قطع مادّةٍ باهظة، استخدم حساباً مضبوطاً وتدويناً يستطيع أن يقول دوري بصوتٍ عالٍ.

الأسئلة الشائعة

كيف أحوّل عدداً عشرياً إلى كسر؟

اكتب الأرقام بعد الفاصلة فوق قوّةٍ من قوى العشرة (صفرٌ لكلّ منزلةٍ عشرية)، ثمّ اختصر بالقاسم المشترك الأكبر. مثال: 0.14 = 14/100 = 7/50. وللأعداد ذات الجزء الصحيح، رافِقه: 4.05 = 405/100 = 81/20.

كيف أحوّل عدداً دوريّاً إلى كسر؟

اجعل س مساوياً للعدد، اضرب في قوى العشرة حتى تتشارك نسختان الذيل اللانهائي نفسه، اطرح، وحُلّ. اختصار: (كلّ الأرقام − الأرقام غير الدورية)، على تسعةٍ لكلّ رقمٍ دوريٍّ يتبعها صفرٌ لكلّ رقمٍ غير دوري. فـ 0.2(3) = (23 − 2)/90 = 7/30.

ما هو 0.375 ككسر؟

3/8. العمل: 375/1000، القاسم المشترك 125. وكنسبةٍ مئوية هو 37.5%.

ما هو 0.625 ككسر؟

5/8 — 625/1000 مختصراً بـ 125. وجيرانه على شريط القياس: 0.125 = 1/8، و0.375 = 3/8، و0.875 = 7/8.

هل 0.999... يساوي 1 حقّاً؟

نعم — تماماً، لا تقريباً. الجبر: 10س = 9.999...، اطرح س لتحصل على 9س = 9، فيكون س = 1. تدوينان، عددٌ واحد.

كيف أعرف إن كان الكسر يعطي عدداً عشرياً منتهياً أم دورياً؟

اختصره، ثمّ حلِّل المقام إلى عوامله. أثنانٌ وخمساتٌ فقط → منتهٍ. أيّ عاملٍ أوّليٍّ آخر → دوري، بكتلةٍ طولها على الأكثر (المقام − 1) رقماً.

كيف أحوّل عدداً كسرياً إلى كسرٍ غير حقيقي؟

اضرب الجزء الصحيح في المقام، أضِف البسط، وأبقِ المقام: a b/c = (a×c + b)/c. فـ 2 3/5 = 13/5.

هل لكلّ الأعداد العشرية صورةٌ كسريّةٌ مضبوطة؟

كلّ الأعداد المنتهية والدورية نعم — تلك هي تعريف العدد النِّسبي. أمّا الأعداد التي لا تنتهي ولا تتكرّر أبداً (مثل π أو الجذر التربيعي لـ 2) فهي أصمّة، ولا صورة كسريّة مضبوطة لها، بل تقريباتٌ فقط.

لماذا تقول حاسبتي إنّ 0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004؟

لأنّ الحاسبات ولغات البرمجة القياسية تستخدم الفاصلة العائمة الثنائية، التي لا تستطيع تمثيل أغلب القيم العشرية بدقّة — فـ 0.1 في الثنائي هو نفسه «عددٌ عشريٌّ» دوري. يتفادى المحوّل في هذه الصفحة المشكلة كليّاً بالحساب بنِسَبٍ صحيحةٍ مضبوطة، فلا تظهر أرض الـ 0.1 + 0.2 أبداً.

عددٌ واحد، أربعة أسماء

إن أدّت هذه الصفحة عملها، فإنّ مواجهة اللُّقَم من المقدّمة تبدو الآن طريفةً تقريباً: 0.3125 و5/16 لم يكونا عددين للتوفيق بينهما قطّ، بل عدداً واحداً قُدِّم مرّتين. عشري، وكسر، وعددٌ كسري، ونسبةٌ مئوية — أربعة أسماء، قيمةٌ واحدة — وإجراءان آليّان (قوّة عشرةٍ وقاسمٌ مشتركٌ في اتجاه؛ وقسمةٌ طويلةٌ في الآخر، مع ثلاثة أسطر جبرٍ للأعداد الدورية) يترجمان بينها عند الطلب.

احتفظ بـالمحوّل في أعلى هذه الصفحة في المفضّلة للحظات التي تهمّ فيها السرعة، واستخدم لوحة خطواته للحظات التي يهمّ فيها الفهم، وشاركه مع الطالب أو الطاهي أو النجّار في حياتك ممّن لا يزال يحدّق في جدولٍ بعينين ضيّقتين. وإن وجدت عدداً يتعامل معه بطريقةٍ تفاجئك — أو عدداً تظنّ أنّ عليه معالجته على نحوٍ أفضل — فنحن نريد أن نسمع منك بصدق.

بُنِيَ ويُصان بواسطة Tooliqo.co. يعمل المحوّل بالكامل في متصفّحك، ولا يخزّن شيئاً على خوادمنا، وهو مجّانيٌّ — اليوم وإلى أبعد ما نستطيع أن نَعِد.